LUAS SEGI N BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

NAMA : ALYCHA TANEZA

KELAS : X MIPA 3


Luas Bangun Segi n Beraturan


Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan akan menjadi seperti di bawah ini:
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh rumus luas segi n beraturan seperti berikut ini:
contoh soal
Tentukan luas segi 12 beraturan yang jari jari lingkaran luarnya memiliki panjang 9 cm?

Diketahui : r = 9 cm; n = 12
Ditanyakan : Luas = ?
Jawab :
Untuk menyelesaikan contoh soal tersebut dapat dilakukan dengan rumus seperti di bawah ini:
Luas = n/2 r² sin 360º/n
          = 12/2 x 9² x sin 360º/12
          = 6 x 81 x sin 30º
          = 6 x 81 x ½ 
          = 243 cm²
Jadi luas segi 12 beraturan tersebut ialah 243 cm².


JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA

Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat di dalam segitiga ABC yang panjang sisinya a, b, dan c. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat tiga titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga diberikan seperti persamaan di bawah.

Lingkaran Luar Segitiga

Bentuk berikutnya adalah sebuah lingkaran berjari-jari r yang terdapat di luar segitiga ABC. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat 3 titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. luar segitiga.

Sisi-sisi segitiga ABC memiliki panjang sisi sama dengan a, b, dan c. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Jari-jari lingkaran tersebut dapat dihitung menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar segitiga seperti persamaan di bawah.

contoh soal:
1. Perhatikan gambar di bawah!


Jika panjang AC dan BC berturut-turut 8 cm dan 15 cm maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah ….

Pembahasan:

Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga. Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu.

Menghitung sisi miring AC:
AB2 = AC2 + BC2
= 82 + 152
= 64 + 225
AB2 = 289
AB = √289 = 17 cm

Menghitung keliling segitiga ABC:

KΔABC = AB + AC + BC
KΔABC = 17 + 8 + 15 = 40 cm


Mencari nilai nilai s:
s = 1/2 × KΔABC
s = 1/2 × 40 = 20 cm

Mencari luas segitiga ABC:
LΔABC = 1/2 × AC × BC
LΔABC = 1/2 × 8 × 15 = 60 cm2

panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut sama dengan r = LΔABC/s= 60/20 = 3 cm

Garis Singgung Lingkaran pada Persekutuan 2 Lingkaran

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jari-jari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB.

Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran.

Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PP’. Sehingga dengan menghitung panjang PP’ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan P’P2 = OP2 ‒ P’O2 dengan P’O = OA ‒ BP = R ‒ r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk P’P2 = OP2 ‒ (R ‒ r)2.

Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut.

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan.

Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran.

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan antara P’O, P’P, dan OP dapat sesuai pada rumus Pythagoras yaitu P’P2 = OP2‒ P’O2. Karena PO’ = OA + BP = R + r maka bentuk persamaan dapat juga dinyatakan dalam P’P2 = OP2‒ (R + r)2

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.



contoh soal
1. Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah …
Pembahasan:
Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.







Diketahui bahawa,

  • Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran: AB = 24 cm
  • Jarak keuda pusat lingkaran: OP = 26 cm
  • Panjang jari-jari lingkaran besar: OA = 18 cm
  • Panjang jari-jari lingkaran kecil: OB = r

Menghitung panjang garis singgung AB:

AB2 = OP2 ‒ (OA ‒ r)2
242 = 262 ‒ (18 ‒ r)2
676 = 576 ‒ ( 18 ‒ r)2
(18 ‒ r)2 = 676 ‒ 576
(18 ‒ r)2 = 100
18 ‒ r = 10
‒r = 10 ‒ 18
‒r = ‒8 → r = 8 cm

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

2. Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.

  • Panjang jari-jari lingkaran besar: R = 10 cm
  • Panjang jari-jari lingkaran kecil: r = 5 cm
  • Jarak kedua pusat lingkaran: OP = 25 cm

Menghutng panjang garis singgung AB:
AB2 = OP2 ‒ PC2
AB2 = OP2 ‒ ( R + r )2
= 252 ‒ ( 10 + 5)2
= 625 ‒ 225
AB2 = 400
AB = √400 = 20 cm

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm.


daftar pustaka

http://www.antotunggal.com/2021/10/contoh-rumus-luas-segi-n.html

https://idschool.net/smp/lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

https://idschool.net/smp/garis-singgung-lingkaran/


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS

Gambar
  A1. Pengertian Koordinat Kartesius Sistem koordinat kartesius adalah sistem identifikasi titik dalam bidang menggunakan serangkaian bilangan dengan menggunakan garis-garis sumbu (axes) tegak lurus sebagai pengukurnya. Sehingga sistem koordinat kartesius juga disebut sistem koordinat titik. Koordinat kartesius ditemukan pada abad ke-17 oleh matematikawan Perancis yang bernama René Descartes. Ia merevolusi ilmu matematika dengan menyediakan hubungan antara geometri Euclidean dan aljabar. Sistem koordinat kartesius dalam bahasa inggris disebut dengan " cartesian coordinate system ". A2. Sistem Koordinat Kartesius Konsep sistem koordinat kartesius menggunakan garis sumbu yang berupa garis-garis tegak lurus untuk mengidentifikasi posisi titik dalam suatu bidang. Jumlah garis sumbu mengikuti konsep geometri Euclidean di dimensi-n. Koordinat kartesius 2 dimensi mempunyai 2 garis sumbu (x, y). Begitu pula sistem koordinat 3 dimensi mempunyai 3 garis sumbu (x, y, z). Artikel ini mem
Baca selengkapnya

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Gambar
  Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = “tiga sudut” dan metron = “mengukur”) adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi. Identitas Trigonometri Jika salah satu satu sudut 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, dengan demikian sudut ketiga dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga bila dijumlahkan menjadi 180 derajat. Karena itu dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan menjadi 90 derajat: ini sudut komplementer. Kegunaan Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, op
Baca selengkapnya

SUDUT SUDUT BERELASI

Gambar
  Sudut Berelasi –   Adalah perluasan definisi dasar ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°).   Rumus Sudut Berelasi Dengan memakai sudut-sudut relasi, kita mampu menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut negatif.   Sudut Relasi Kuadran I Untuk α lancip, maka (90° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut : sin (90° − α ° ) = cos α ° cosec (90° − α ° ) = sec α ° cos (90° − α ° ) = sin α ° sec (90° − α ° ) = cosec α ° tan (90° − α ° ) = cot α ° cot (90° − α ° ) = tan α °   Sudut Relasi Kuadran II Untuk α lancip, maka (90° + α°) dan (180° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran II dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut : sin (90° + α ° ) = cos α ° cosec (90° + α ° ) = sec α cos (90° + α ° ) = -sin α ° sec (90°
Baca selengkapnya