soal cerita SPLTV

 SOAL CERITA SPLTV DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI

1. Diketahui sebuah bilangan tiga angka. Jumlah angka-angka tersebut 11. Dua kali angka pertama ditambah angka kedua sama dengan angka ketiga. Angka pertama ditambah angka kedua dikurangi angka ketiga. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

 

Penyelesaian:

Misalkan: x = bilangan pertama, y = bilangan kedua, z = bilangan ketiga

 

Persamaan matematis:

a + b + c = 11

2a + b = c ⇒ 2a + b – c = 0

a + b – c = – 1

 

Diperoleh SPLTV yakni:

a + b + c = 11 . . . . pers (1)

2a + b – c = 0 . . . . pers (2)

a + b – c = – 1 . . . pers (3)

 

Langkah I

Eliminasi c dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 maka: pers (4) 

a + b + c

=

11

2a + b – c

=

0

+

3a + 2b

=

11

Langkah II

Eliminasi b dan c dengan menggunakan persamaan 2 dan 3, maka: pers (5)

2a + b – c

=

0

a + b – c

=

−1

−

a

=

1

Langkah III

Subtitusikan nilai a ke persamaan 4 di langkah 1, maka:

3a + 2b = 11

3(1) + 2b = 11

3 + 2b = 11

2b = 8

b = 4

 

Langkah IV

Subtitusikan nilai a dan b ke persamaan 1, 2 atau 3, maka:

a + b + c = 11

1 + 4 + c = 11

5 + c = 11

c = 6

 

Jadi ketiga bilangan tersebut secara berurutan adalah 1, 4 dan 6.

2. Eka, Dwi, dan Tri adalah 3 bersaudara. Menurut mereka, jumlah usia mereka adalah 28 tahun. Jumlah usia Eka yang ditambah 2 tahun dan usia Dwi yang ditambah 3 tahun sama dengan 5 tahun ditambah tiga kali usia Tri. Dua kali usia Eka dikurangi usia Dwi kemudian ditambah usia Tri sama dengan 13 tahun. Tentukan urutan usia mereka dari yang paling muda!

 

Penyelesaian:

Misal usia Eka = x, Dwi = y, dan Tri = z

 

Persamaan matematis:

x + y + z = 28

(x + 2) + (y + 3) = 5 + 3z => x + y – 3z = 0

2x – y + z = 13

 

Diperoleh SPLTV yakni:

x + y + z = 28 . . . . pers (1)

x + y – 3z = 0 . . . . pers (2)

2x – y + z = 13 . . . pers (3)

 

Langkah I

Eliminasi x dan y dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 yakni pers (3) :

x + y + z

=

28

x + y – 3z

=

0

−

4 z

=

28

z

=

7

Langkah II

Eliminiasi y dengan menggunakan persamaan 2 dan 3 pers (4) yakni:

x + y – 3z = 0

2x – y + z = 13

______________ +

3x – 2z = 13 . . . . pers (4)

 

Langkah III

Substitusi nilai z ke persamaan 4, maka:

3x – 2z = 13

3x – 2(7) = 13

3x – 14 = 13

3x = 27

x = 9

 

Langkah IV

Substitusi nilai x dan z ke persamaan 1, maka:

x + y + z = 28

9 + y + 7 = 28

y + 16 = 28

y = 12

Jadi urutan usia dari usia yang paling muda yaitu 7 tahun, 9 tahun, dan 12 tahun.

3. Bentuk kuadrat px2 + qx + r mempunyai nilai 1 untuk x = 0, mempunyai nilai 6 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 2 untuk x = −1. Carilah nilai p, q, dan r.

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat dalam x dituliskan sebagai berikut.

f(x) = px2 + qx + r

■ Untuk nilai x = 0 maka f(x) = 1 maka:

f(0) = p(0)2 + q(0) + r

1 = r

■ Untuk nilai x = 1 maka f(x) = 6 maka:

f(1) = p(1)2 + q(1) + r

6 = p + q + r

Masukkan nilai r = 1 ke persamaan 6 = p + q = r sehingga diperoleh:

⇒ 6 = p + q + r

⇒ 6 = p + q + 1

⇒ p + q = 5

⇒ p = 5 – q

■ Untuk nilai x = −1 maka f(x) = 2 maka:

f(0) = p(−1)2 + q(−1) + r

2 = p – q + r

Subtitusikan persamaan nilai r = 1 dan persamaan p = 5 – q ke persamaan 2 = p – q + r sehingga diperoleh:

⇒ 2 = p – q + r

⇒ 2 = (5 – q) – q + 1

⇒ 2 = 6 – 2q

⇒ 2q = 6 – 2

⇒ 2q = 4

⇒ q = 2

Terakhir, subtitusikan nilai q = 2 dan nilai r = 1 ke persamaan 2 = p – q + r sehingga kita peroleh nilai p sebagai berikut.

⇒ 2 = p – q + r

⇒ 2 = p – 2 + 1

⇒ 2 = p – 1

⇒ p = 2 + 1

⇒ p = 3

Jadi, nilai p, q, dan r berturut-turut adalah 3, 2, dan 1.

4. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

Penyelesaian:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

x + 3y + 2z = 33.000

2x + y + z = 23.500

x + 2y + 3z = 36.500

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2

x + 3y + 2z

=

33.000

|× 2|

→

2x + 6y + 4z

=

66.000

2x + y + z

=

23.500

|× 1|

→

2x + y + z

=

23.500

−

5y + 3z

=

42.500

● Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3

x + 3y + 2z

=

33.000

x + 2y + 3z

=

36.500

−

y – z

=

−3.500

y

=

 z – 3.500

Subsitusikan y = z – 3.500 ke persamaan 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:

⇒ 5y + 3z = 42.500

⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500

⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500

⇒ 8z – 17.500 = 42.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 60.000

⇒ z = 7.500

Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒ y = z – 3.500

⇒ y = 7.500 – 3.500

⇒ y = 4.000

Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x + 3y + 2z = 33.000

⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000

⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⇒ x + 27.000 = 33.000

⇒ x = 33.000 – 27.000

⇒ x = 6.000

Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.

5. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya, carilah panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut.

Jawab:

■ Misalkan panjang dari persegi panjang itu sama dengan x cm dan lebarnya y cm. Model matematika yang sesuai dengan persolan di atas adalah sebagai berikut.

2(panjang + lebar) = keliling persegi panjang

⇒ 2x + 2y = 44

⇒ x + y = 22

Lebar 6 cm lebih pendek dari panjang, maka:

⇒ y = x – 6

■ Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut.

x + y = 22

y = x – 6

■ Dengan menggunakan metode subtitusi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama, untuk menentukan nilai x, subtitusikan persamaan y = x – 6 ke persamaan x + y = 22 sehingga diperoleh:

⇒ x + y = 22

⇒ x + (x – 6) = 22

⇒ 2x – 6 = 22

⇒ 2x = 22 + 6

⇒ 2x = 28

⇒ x = 14

Kedua, untuk menentukan nilai y, subtitusikan nilai x = 14 ke persamaan y = x – 6 sehingga diperoleh:

⇒ y = x – 6

⇒ y = 14 – 6

⇒ y = 8

Jadi, panjang persegi panjang itu adalah 14 cm dan lebarnya adalah 8 cm.

Darftar Pusaka :

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/soal-cerita-SPLTV.html?m=0

https://mafia.mafiaol.com/2020/10/contoh-soal-cerita-persamaan-linear-tiga-variabel-dan-penyelesaiannya.html?m=1