Nilai mutlak

Nama : Alycha Taneza

Kelas : X MIPA 3

Materi Nilai Mutlak :

1. Pengertian nilai mutlak

2. Persamaan nilai mutlak

3. Pertidaksamaan nilai mutlak

4. Masalah persamaan Dan pertidaksamaan nilai mutlak yang kontekstual

A. Pengertian Nilai Mutlak (Absolut) 

    Secara geometris, nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Nilai mutlak dilambangkan dengan ||.

Definisi nilai mutlak : 

|x| = x jika x adalah bilangan positif / ≥0

|x| = −x jika x adalah bilangan negatif / <0

Contoh : 

1. |3| = 3

2. |0| = 0

3. |−3| = −(−3) = 3

4. |-x| = |x|

5. |x – y| = |y – x|

6. |x| = √x²

7. |x|² = x²

8. |x.y| = |x| |y|

9. |x/y|= |x| / |y| dengan y ≠ 0

10. |x – y|² = (x – y)² = x² – 2xy + y²,

11.|x + y|² = (x + y)² = x² + 2xy + y²,

12. |x|= {x, untuk x ≥ 0} dan {-x, untuk x < 0}

13. |ax + b|= {(ax+b), untuk ax + b ≥ 0} {-(ax+b), untuk ax + b < 0}

B. Sifat Sifat Nilai Mutlak

~ Persamaan Nilai Mutlak

1. |x| ≥ 0

2. |x| = |−x|

3. |x − y| = |y − x|

4. |x| = √x²

5. |x|² = x²

6. Jika |x| < |y|, maka x² < y²

7. |xy| = |x| |y|

8. |x/y| = |x| / |y| ; y ≠ 0

9. |x – y| = |x| - |y|

10. |x|+|y| = |x|+|y|

~ Pertidaksamaan Nilai Mutlak 

11. |x| < a <=> −a < x < a

12. |x| ≤ a <=> -a ≤ x ≤ a

13. |x| > a <=> x < -a atau x > a  

14. |x| ≥ a <=> x ≤ - a atau x ≥ a

15. |f(x)| < a <=> - a ≤ f(x) < a

16. |f(x)| ≤ a <=> - a ≤ f(x) ≤ a

17. |f(x)| > a <=> f(x) < -a atau f(x) > a

18. |f(x)| ≥ a <=> f(x) < - a atau f(x) ≥ a

19. |x|= √x² <=> |x²|= x²

20. |f(x)|< |g(x)|→ [f(x)]² < [g(x)]² 

21. |f(x)| > |g(x)|→ [f(x)]² > [g(x)]²

22. |f(x)|/ |g(x)|< a → |f (x)| < a |g (x)|

            → |f (x)| < |a. g (x)|

            → [f (x) + a.g (x)] [f (x) - a. g (x)] < 0

C. Contoh Soal 

# Persamaan Nilai Mutlak :

1. Berapa nilai mutlak dari persamaan |10 - 3|? 

Jawab : |10 - 3| = |7| = 7

2. Berapa hasil x untuk persamaan nilai mutlak |x - 6|= 10 ?

Jawab : x - 6 = 10

              x = 10 + 6 = 16

3. Selesaikan persamaan berikut dan berapa nilai x

|7 – 2x| – 11 = 14

Jawab : |7 – 2x| – 11= 14

               |7 – 2x|= 14 + 11

                              = 25

4. Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut:

|4x – 2| = |x + 7|

Jawab : 4x – 2 = x + 7

                       x = 3 

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak | x + 5 | = 3 adalah

Jawab : Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

(*) x + 5 = 3 , maka x = 3 – 5 = -2

(*) x + 5 = -3, maka x = -3 – 5 = -8

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}

# Pertidaksamaam Nilai Mutlak

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini. |5x+10|≥20

Jawab : Jika a > 0 dan |x| ≥ a

maka x ≥ a atau x ≤ -a

Sehingga bisa kita tulis:

5x +10 ≥20

= 5x ≥ 10

= x ≥ 2

5x + 10 ≤ -20

5x ≤ -30

x ≤ -6          

Maka himpunan penyelesaiannya = x ≥ 2 atau x ≤ -6

2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini. |5x+10|≤20

Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:

Jika a > 0 dan |x| ≤ a

maka -a ≤ x ≤ a

Sehingga penyelesaiannya adalah:

-20 ≤ 5x + 10 ≤ 20

-30 ≤ 5x ≤ 10

-6 ≤ x ≤ 2

Maka himpunan penyelesaiannya dari soal di atas yaitu = 6 ≤ x ≤ 2

3.Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari |3x + 1| = |x – 5| !

Jawab : |3x + 1| = |x – 5|

3x + 1 = x – 5 atau 3x + 1 = – (x – 5)

3x + 1 = x – 5

3x – x = –5 – 1

2x = –6

x = –3. Atau 3x + 1 = – (x – 5)

3x + 1 = – x + 5

3x + x = 5 – 1

4x = 4

x = 1. 

Jadi, Himpunan penyelesaian dari |3x + 1| = |x – 5| adalah {–3, 1}

4. Cari himpunan penyelesaian dari |2x – 5| = 7

Jawab : |2x – 5| = 7

2x – 5 = 7 atau 2x – 5 = –7

2x – 5 = 7

2x = 7 + 5

2x = 12

x = 6 atau 2x – 5 = –7

2x = –7 + 5

2x = –2

x = –1. 

Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x – 5| = 7 adalah {–1, 6}.

5. Temukan himpunan penyelesaian |6x – 3 | ≥ 9

Jawab : |6x – 3 | ≥ 9

6x – 3 ≤ –9 atau 6x – 3 ≥ 9

6x – 3 ≤ –9

6x ≤ –9 + 3

6x ≤ –6

x ≤ –1. atau

6x – 3 ≥ 9

6x ≥ 9 + 3

6x ≥ 12

x ≥ 2. 

Jadi, himpunan penyelesaian |6x – 3 | ≥ 9 adalah {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}.