Komposisi fungsi dan invers

 Nama : Alycha Taneza

 Kelas : X MIPA 3

Komposisi Fungsi

merupakan suatu penggabungan dari operasi pada dua jenis fungsi f (x) dan g (x) sampai bisa menghasilkan fungsi baru.

Operasi fungsi komposisi biasa dinotasikan dengan penggunaan huruf atau simbol “o” yang dibaca sebagai komposisi atau bundaran.

Fungsi baru yang dapat terbentuk dari f (x) dan juga g (x), yakni:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g

Fungsi tunggal merupakan suatu fungsi yang dapat dinotasikan dengan penggunakan huruf “f o g” atau dapat dibaca “f bundaran g”.

fungsi komposisi f o g o h

Dari skema rumus diatas dapat diketahui bahwa :

Apabila f : A → B ditentukan dengan menggunakan rumus y = f(x)

Apabila g : B → C ditentukan dengan menggunakan rumus y = g(x)

Akan kita peroleh hasil fungsi g dan f yaitu :

h(x) = (gof)(x) = g( f(x))

Sifat Sifat Fungsi Komposisi

Apabila f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka akan berlaku beberapa sifat seperti:

(f o g)(x)≠(g o f)(x). Tidak berlaku sifat komutatif.

(f o (g o h)(x)) = ((f o g ) o h (x)) . Akan bersifat asosiatif.

 Apabila fungsi identitas I(x), maka akan berlaku (f o l)(x) = (l o f)(x) = f(x).

Contoh :

Jika diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x berapa nilai dari (f o g) (2)?

Jawab:

(f o g) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(f o g) (2) = 9(2) + 4

                 = 22

Fungsi Invers

Jika fungsi f:A \rightarrow B memiliki relasi dengan fungsi g:B \rightarrow A, maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis f^{-1} atau g = f^{-1}. Jika f^{-1} dalam bentuk fungsi, maka f^{-1} disebut fungsi invers.

Menentukan Fungsi Invers :

Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

Tuliskan x sebagai f -1(y) sehingga f -1(y) = f(y).

Ubahlah variabel y dengan x sehingga akan didapatkan rumus fungsi invers f -1(x).

JENIS FUNGSI f(x) f^{-1}(x)

Fungsi linear f(x) = ax + b f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}

Fungsi pecahan linier f(x) =\frac{ax+b}{cx+d} f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}

Fungsi Irrasional f(x) =\sqrt[n]{ax+b} f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}

Fungsi eksponen f(x) = a^x f^{-1}(x) = ^a\log x

Fungsi logaritma f(x) = ^a\log x f^{-1}(x) = a^x

Contoh

JENIS FUNGSI f(x) f^{-1}(x)

Fungsi linier f(x) = 2x+3 f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}

Fungsi pecahan linier f(x) = \frac{2x+3}{4x+5} f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}

Fungsi Irrasional f(x) = \sqrt[4]{2x+3} f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}

Fungsi eksponen f(x) = 2^x f^{-1}(x) = ^2\log x

Fungsi logaritma f(x) = ^2\log x f^{-1} = 2^x

Contoh : 

Jika diketahui suatu fungsi f (x) = 5x +20, hitunglah fungsi invers f-1 (x)!

Jawab:

Jika fungsi f (x) dinyatakan dalam bentuk y sama dengan fungsi x → f (x) = y, maka:

f (x) = 5x + 20 → y = 5x + 20

Kemudian, merubah x menjadi f-1 (y), sehingga akan kita dapatkan:

y = 5x + 20

5x = y – 20

x = (y – 20)/5

x = y/5 – 4

f-1 (y) = y/5 – 4

f-1 (x) = x/5 – 4 → sehingga kita dapatkan fungsi invers dari f (x) = 5x + 20

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh f(x) = 2x + 3, g(x) = 3x - 5, dan h(x) = x =1.

Jika f^{-1},g^{-1},h^{-1} adalah invers fungsinya yaitu f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}, g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}, dan h^{-1}(x) = x - 1, maka dirumuskan beserta contohnya:

(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)

(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))

(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}

(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)

(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))

(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x))) 

 (h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x))) 

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Jika diketahui g(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)

Jika diketahui f(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)

Jika diketahui f(x),g(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka (f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))

Jika diketahui f(x), h(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))

Contoh :

Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan g(x) = \frac{15}{x} untuk x > 0. Jika (f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1, tentukan nilai (x)(x).

Pembahasan

f(x) = x + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = x - 2

g(x) = \frac{15}{x} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{15}{x}

Maka :

(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1

f^{-1}(g^{-1}(x)) = 1

f^{-1}(\frac{15}{x}) = 1

 (\frac{15}{x}) - 2 = 1

x = 5

Daftar Pustaka : 

1. https://www.yuksinau.id/fungsi-komposisi/

2. https://www.studiobelajar.com/relasi-fungsi-komposisi-invers/