SPLTV
Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan matematika yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing – masing persamaannya juga bervariabel tiga.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
SPLTV dapat dicari dengan menggunakan beberapa metode, diantaranya :
1. METODE ELIMINASI
Penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel pada dua buah persamaan. Metode eliminasi dapat digunakan pada semua SPLTV, tetapi membutuhkan langkah yang panjang karena setiap langkah hanya dapat menghilangkan satu variabel saja. Diperlukan minimal tiga kali metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV.
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini menggunakan metode eliminasi :
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab :
x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1
2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2
x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1
Supaya ketiga koefisien x sama, maka akan kita kalikan persamaan pertama dan persamaan III dengan 2 sementara persamaan II kita kalikan 1. Berikut caranya :
x + 3y + 2z = 16 |x2| → 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12 |x1| → 2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20 |x2| → 2x + 2y + 8z = 40
Sesudah koefisien x ketiga persamaan telah sama, selanjutnya langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel x hilang.
Dari persamaan pertama dan kedua:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12
__________ –
2y + 6z = 20
Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x + 4y – 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40
__________ –
2y – 10z = -28
Dengan begitu, maka kita dapatkan SPLDV seperti berikut ini:
2y + 6z = 20
2y – 10z = –28
Lagkah pertama adalah menentukan nilai y dengan mengeliminasi z.
2y + 6z = 20 → koefisien z = 6
2y – 10z = –28 → koefisien z = –10
Supaya kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama akan kita kalian dengan 5 sementara untuk persamaan kedua kita kali dengan 3. Kedua persamaan tersebut kita jumlahkan. Berikut caranya:
2y + 6z = 20 |×5| → 10y + 30z = 100
2y – 10z = -28 |×3| → 6y – 30z = -84
___________ +
16y = 16
y = 1
Kedua, kita mencari nilai z dengan cara mengeliminasi y.
2y + 6z = 20
2y – 10z = -28
__________ _
16z = 48
z = 3
Hingga di tahap ini maka kita telah mendapatkan nilai y = 1 dan z = 3.
Langkah yang terakhir, untuk memperoleh nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV. Sebagai contoh persamaan x + y + 4z = 20 sehingga akan kita dapatkan:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x + 1 + 4(3) = 20
⇒ x + 1 + 12 = 20
⇒ x + 13 = 20
⇒ x = 20 – 13
⇒ x = 7
Dengan begitu, akan kita dapatkan nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas yaitu {(7, 1, 3)}.
2. METODE SUBTITUSI
Penyelesaian SPLTV dengan metode subtitusi dilakukan dengan cara menyubtitusikan nilai salah satu variable dari satu persamaan ke persamaan lain.
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV di bawah ini dengan menggunakan metode subtitusi:
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Jawab :
Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z seperti berikut ini:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 …………… Pers. (1)
Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………… Pers. (2)
Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y serta z:
7y – 5z = –14
y – z = –4
Kemudian menyelesaikan SPLDV di atas dengan menggunakan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana.
Dari persamaan kedua, maka kita dapatkan:
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
⇒ z = 7
Subtitusikan nilai z = 7 ke salah satu SPLDV, sebagai contoh y – z = –4 sehingga akan kita dapatkan:
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒ y = 3
Lalu, subtitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke salah satu SPLTV, sebagai contoh x – 2y + z = 6 sehingga akan kita dapatkan:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(3) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Dengan begitu, kita dapatkan x = 5, y = 3 dan z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV soal tersebut yaitu {(5, 3, 7)}.
Metode Determinan
Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut :
Langkah pertama ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.
Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut
A . X = B …………… Pers. (1)
Dengan:
A
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
X
=
x
y
z
B
=
d1
d2
d3
Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.
a1
b1
c1
x
=
d1
a2
b2
c2
y
d2
a3
b3
c3
z
d3
Langkah kedua tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.
D
=
a1
b1
c1
a1
b1
=
(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
D adalah determinan dari matriks A.
Dx
=
d1
b1
c1
d1
b1
=
(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
d2
b2
c2
d2
b2
d3
b3
c3
d3
b3
Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.
Dy
=
a1
d1
c1
a1
d1
=
(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
a2
d2
c2
a2
d2
a3
d3
c3
a3
d3
Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.
Dz
=
a1
b1
d1
a1
b1
=
(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
a2
b2
d2
a2
b2
a3
b3
d3
a3
b3
Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B.
Langkah ketiga tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut.
x
=
Dx
D
y
=
Dy
D
z
=
Dz
D
Metode Matriks
Jika A
=
a1
b1
c1
Dengan det A ≠ 0
a2
b2
c2
a3
b3
c3
Maka invers dari matriks A (ditulis A-1) dirumuskan sebagai berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
A-1
=
1
adj
a1
b1
c1
a2
b2
c2
det A
a3
b3
c3
Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A dapat digunakan cara berikut.
Determinan matriks A
Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.
A
=
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, dan c1a2b3. Ketiga hasil perkalian elemen matriks tersebut bertanda positif.
+
+
+
A
=
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a3b2c1, b3c2a1, dan c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut.
−
−
−
A
=
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
Determinan dari matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni:
det A = (a1b2c3) + (b1c2a3) + (c1a2b3) + (−a3b2c1) + (−b3c2a1) + (−c3a2b1).
Komentar
Posting Komentar