Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Definisi dan Bentuk Umum

Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x dan y).  Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam x dan y dapat kita tuliskan sebagai berikut.

Metode Penyelesaian SPLDV

1. Metode Grafik

Cara yang paling mudah untuk menggambar grafik adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y

Contoh:

1. Gambarkan grafik untuk persamaan 2x + y = 4.

Penyelesaian:

Untuk menggambarkan grafik SPLDV, gunakan paling sedikit dua titik seperti pada tabel berikut.

Tentukan nilai y untuk x = 0.
2x + y = 4
⇔2( 0) + y = 4
⇔y = 4

Tentukan nilai x untuk y = 0.
2x + y = 4
⇔ 2x + 0 = 4
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2

Tuliskan hasil yang diperoleh ke dalam tabel.

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah A (0, 4) dan B (2, 0).

Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius, kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus, sehingga terbentuk gambar di bawah ini.

2. Tentukan penyeselesaian dari SPLDV:

2x + y = 6
2x + 4y = 12

Penyelesaian:

Langkah 1: gambarkan grafik untuk persamaan pertama.

Gunakan paling sedikit dua titik seperti pada tabel berikut.

Tentukan nilai y untuk x = 0.
2x + y = 6
⇔ 2(0) + y = 6
⇔ y = 6

Tentukan nilai x untuk y = 0.
2x + y = 6
⇔2x + 0 = 6
⇔2x = 6
⇔x = 3

Tuliskan hasil yang diperoleh ke dalam tabel.

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah A (0, 6) dan B (3, 0).

Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius, kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus, sehingga terbentuk gambar di bawah ini.

2. Metode Eliminasi

Metode ini bertujuan untuk mengeliminasi salah satu variabel untuk mengetahui nilai variabel lainnya.

Contoh:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan 2x+y=7 dan x−y=8 dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
2x+y=7 . . . . (1)
x−y=8 . . . . (2)

Eliminasi suku variabel x: samakan koefisien x dengan mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan dengan mengalikan persamaan 2 dengan 2, kemudian kurangkan.
2x+y=7x−y=8  |×1×2 |

   2x+y=72x−2y=16   −_
3y=−9
y=−3

Eliminasi suku variabel y: koefisien y pada persamaan (1) dan (2) hanya berbeda tanda, tidak perlu disamakan. Cukup hanya dengan menjumlahkan kedua persamaan.

   2x+y=7x−y=8   +_
3x=15
x=5

HP={(5,−3)}

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan 

$3x-4y=5$ dan $2x+3y=-8$ dengan cara atau metode eliminasi!

Pembahasan:
$3x-4y=5$ . . . . (1)
$2x+3y=-8$ . . . . (2)

Eliminasi suku variabel $x$: kalikan persamaan (1) dengan 2 dan kalikan persamaan (2) dengan 3, kemudian kurangkan.

$\begin{array}{c}3x-4y=5\\ 2x+3y=-8\end{array}|\begin{array}{c}\times 2\\ \times 3\end{array}|$

$\underset{-}{{\begin{array}{c}6x-8y=10\\ 6x+9y=-24\end{array}}_{-}}$
$-17y=34$
$y=-2$

Eliminasi suku variabel $y$: kalikan persamaan (1) dengan 3 dan kalikan persamaan (2) dengan 4. Karena koefisien $y$ pada persamaan (1) dan (2) hanya berbeda tanda, lakukan penjumlahan.

$\begin{array}{c}3x-4y=5\\ 2x+3y=-8\end{array}|\begin{array}{c}\times 3\\ \times 4\end{array}|$

$\underset{-}{{\begin{array}{c}9x-12y=15\\ 8x+12y=-32\end{array}}_{+}}$
$17x=-17$
$x=-1$

$HP=\left\{\right(-1,-2\left)\right\}$

3. Metode Subtitusi

Metode substitusi bertujuan untuk mengganti nilai suatu variabel di suatu persamaan dari persamaan lainnya.

Contoh:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan x=2 dan 3x+2y=12 dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Nilai dari x sudah diketahui, tinggal memasukkan nilai x=2 ke dalam persamaan 3x+2y=12.
3x+2y=12
3.2+2y=12
6+2y=12
2y=12−6
2y=6
y=3

HP={(2,3)}

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $y=x+5$ dan $3x-y=7$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
$y=x+5$ . . . . (*)
$3x-y=7$ . . . . (**)

Persamaan (*) sudah dalam bentuk eksplisit, dengan begitu bisa langsung disubstitusikan ke dalam persamaan (**).
$3x-y=7$
$3x-(x+5)=7$ → jangan lupa tanda kurung.
$3x-x-5=7$
$2x=7+5$
$2x=12$
$x=6$

Substitusikan nilai $x=6$ kedalam persamaan (*) atau persamaan (**) untuk mendapatkan nilai dari $y$. Dalam hal ini kita ambil persamaan (*).
$y=x+5$
$y=6+5$
$y=11$

$HP=\left\{\right(6,11\left)\right\}$

4. Metode Gabungan

Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan substitusi. Caranya, kamu dapat menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x terlebih dahulu, kemudian ganti variabel x dengan nilai x yang sudah diperoleh dengan menggunakan metode substitusi untuk memperoleh nilai y.

Contoh:

1. Diketahui persamaan  x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30, dengan menggunakan metode campuran tentukanlah Himpunan penyelesaiannya !

Penyelesaian :

Diketahui :

Persamaan 1 = x + 3y = 15

Persamaan 2 = 3x + 6y = 30

Langkah Pertama Menggunakan Metode Eliminasi :

x + 3y = 15  | x3| <=> 3x +9x = 45

3x + 6y = 30  | x1| <=> 3x + 6y = 30    _

                                            0 + 3y = 15

                                              y = 5

Langkah Kedua Menggunakan Metode Substusi :

x + 3y = 15
x + 3.5 = 15
x + 15 = 15
x = 0

Jadi himpunan penyelesaian dari soal diatas adalah HP ={ 0 , 5 }

Contoh Soal Cerita:

1. Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II yang terjual.

Pembahasan: 

Langkah pertama adalah mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita di atas menjadi model matematika, sehingga membentuk sistem persamaan linear.

Sehingga diperoleh SPLDV sebagai berikut.

Langkah kedua, kita cari koordinat dua titik yang dilewati oleh grafik masing-masing persamaan tersebut. Biasanya, dua titik yang dipilih tersebut merupakan titik potong grafik persamaan-persamaan tersebut dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Sehingga grafik persamaan x + y = 500 memotong sumbu-x di (500, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 500).

Sedangkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000 memotong sumbu-x di (406 1/4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 541 2/3).

Langkah ketiga, kita gambarkan grafik persamaan-persamaan tersebut pada koordinat Cartesius. Grafik persamaan-persamaan di atas dapat dilukis dengan memplot titik-titik yang telah kita cari pada koordinat Cartesius kemudian hubungkan titik (500, 0) dan (0, 500) untuk mendapatkan grafik x + y = 500, serta titik (406 1/4, 0) dan (0, 541 2/3) untuk mendapatkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000.

Daftar Pustaka

blogmipa-matematika.blogspot.com.2017,"SPLDV:Pengertian,Bentuk Umum dan Cara Penyelesaianya"https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/09/sistem-persamaan-linear-dua-variabel.html, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021

Hani Ammariah.2020,"Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel", https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-8-cara-menyelesaikan-sistem-persamaan-linear-dua-variabel-spldv, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021

MARETONG.2019,"Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Eliminasi", https://www.maretong.com/2019/12/menentukan-hp-spldv-dengan-metode-eliminasi.html, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021

MARETONG.2019,"Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Subtitusi",https://www.maretong.com/2019/12/menentukan-hp-spldv-dengan-metode-substitusi.html, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021

Abidillah.2021,"Pengertian Dan Metode Penyelesaian SPLDV Secara Lengkap",https://rumusrumus.com/spldv/, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021

Yosep Dwi Kristanto.2013, "Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Grafik", https://yos3prens.wordpress.com/2013/09/29/menyelesaikan-spldv-dengan-metode-grafik/, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021

Ridafahmi.2016,"Contoh soal cerita SPLDV metode eliminasi dan penyelesaiannya", https://brainly.co.id/tugas/5382649, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021

Mafia Materi Online.2020"Contoh Soal Cerita Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)",https://mafia.mafiaol.com/2020/10/contoh-soal-cerita-sistem-persamaan-linear-dua-variabel-spldv.html, diakses pada tanggal 20 Agustus 2021